Question

3．如图，已知椭圆C的中心在原点O，左焦点为F₁（-1，0），左顶点为A，且F₁为AO的中点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C₁方程为：$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1（m＞n＞0）$，椭圆C₂方程为：$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=λ（λ＞0，且λ≠1）$，则称椭圆C₂是椭圆C₁的λ倍相似椭圆．已知C₂是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C₂于两点M，N，试求弦长|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C的中心在原点O，左焦点为F₁（-1，0），左顶点为A，且F₁为AO的中点，求出a，b，c，由此能求出椭圆C的方程．
（2）椭圆C₁的3倍相似椭圆C₂的方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．切线m垂直于x轴，则其方程为：x=±2，推导出|MN|=2$\sqrt{6}$；若切线m不垂直于x轴，可设其方程为：y=kx+b，代入椭圆C₁方程，得（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出弦长|MN|的最大值．

解答 解：（1）∵椭圆C的中心在原点O，左焦点为F₁（-1，0），左顶点为A，且F₁为AO的中点，
∴c=1，a=2，∴b²=4-1=3，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）椭圆C₁的3倍相似椭圆C₂的方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
①若切线m垂直于x轴，则其方程为：x=±2，解得y=$±\sqrt{6}$，
∴|MN|=2$\sqrt{6}$．
②若切线m不垂直于x轴，可设其方程为：y=kx+b．
将y=kx+b代入椭圆C₁方程，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
△=（8kb）²-4（3+4k²）（4b²-12）=48（4k²+3-b²）=0，
即b²=4k²+3，（*），
设M，N两点的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），
将y=kx+b代入椭圆C₂的方程，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-36=0，
此时，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{b}^{2}-36}{3+4{k}^{2}}$，
∴|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{3（12{k}^{2}+9-{b}^{2}）}}{3+4{k}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{4\sqrt{3（12{k}^{2}+9-{b}^{2}）}}{3+4{k}^{2}}$=4$\sqrt{6}$$\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}$=2$\sqrt{6}$$\sqrt{1+\frac{1}{3+4{k}^{2}}}$，
∵3+4k²≥3，∴1＜1+$\frac{1}{3+4{k}^{2}}$$≤\frac{4}{3}$，即2$\sqrt{6}$＜2$\sqrt{6}$$\sqrt{1+\frac{1}{3+4{k}^{2}}}$≤4$\sqrt{2}$，
综合①②，得弦长|MN|的取值范围是[2$\sqrt{6}$，4$\sqrt{2}$]，
∴弦长|MN|的最大值是4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．