Question

8．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设不过原点O的直线与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆M上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2$\sqrt{3}$，可得2a+2c=4+2$\sqrt{3}$，又a=2b，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$b联立解出即可得出．
（2）可设直线l的斜率垂直且不为0，可设直线l的方程为：y=kx+m（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（1+4k²）x²+8kmx+（4m²-4）=0，△＞0，利用根与系数的关系可化简y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．由于直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$$•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k²，代入化简得k²=$\frac{1}{4}$．由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，可得：0＜m²＜2，且m²≠1，则S_△OPQ=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|•|2m|=$\frac{1}{2}$|x₁-x₂|•|m|，即可得出．

解答 解：（1）∵椭圆M上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2$\sqrt{3}$，
∴2a+2c=4+2$\sqrt{3}$，又a=2b，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$b，
∴2b+$\sqrt{3}$b=2+$\sqrt{3}$，解得b=1，a=2，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆M的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）可设直线l的斜率垂直且不为0，可设直线l的方程为：y=kx+m（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²+8kmx+（4m²-4）=0，
△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）＞0，且x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
故y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$$•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=k²，化为$\frac{-8{k}^{2}{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+m²=0，
又m≠0，解得k²=$\frac{1}{4}$，即k=$±\frac{1}{2}$．
由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，可得：0＜m²＜2，且m²≠1，
则S_△OPQ=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|•|2m|=$\frac{1}{2}$|x₁-x₂|•|m|=$\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{△}}{2}|m|$=$\sqrt{{m}^{2}（2-{m}^{2}）}$=$\sqrt{-（{m}^{2}-1）^{2}+1}$，
∴S_△OPQ的范围是（0，1）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、等比数列的性质、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．