Question

13．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且F₁恰是QF₂的中点．若过A、Q、F₂三点的圆恰好与直线l：x-$\sqrt{3}$y-3=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l₁：y=x+2与椭圆C交于G、H两点．在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的半焦距为c（c＞0），由已知得过A、Q、F₂三点的圆的圆心为F₁（-c，0），半径2c=a，$\frac{|-c-3|}{2}$=2c，由此能求出椭圆的方程．
（2）将直线l₁：y=x+2代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得7x²+16x+4=0，由此利用韦达定理能求出GH的中点M，再由菱形的对角线互相垂直平分能求出存在满足题意的点P，且能求出m的值．

解答 解：（1）设椭圆C的半焦距为c（c＞0），
∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，
过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且F₁恰是QF₂的中点，
过A、Q、F₂三点的圆恰好与直线l：x-$\sqrt{3}$y-3=0相切，
∴过A、Q、F₂三点的圆的圆心为F₁（-c，0），半径2c=a，
又∵该项圆与直线l相切，∴$\frac{|-c-3|}{2}$=2c，
解得c=1，∴a²=4，b²=3，
∴所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）将直线l₁：y=x+2代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得7x²+16x+4=0，
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{16}{7}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4}{7}$，
∴${y}_{1}+{y}_{2}={x}_{1}+2+{x}_{2}+2=\frac{12}{7}$，
∴GH的中点M（-$\frac{8}{7}，\frac{6}{7}$），
∵菱形的对角线互相垂直平分，∴k_PA•k_PB=-1，
∴$\frac{\frac{6}{7}-0}{-\frac{8}{7}-m}×1=-1$，解得m=-$\frac{2}{7}$，
∴存在满足题意的点P，且m的值为-$\frac{2}{7}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理的合理运用．