Question

4．如图，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，D为⊙O上一点，AD、BC相交于点E．
（1）若AD=AC，求证：AP∥CD；
（2）若F为CE上一点使得∠EDF=∠P，已知EF=1，EB=2，PB=4，求PA的长．

Answer 1

分析 （1）由PA为圆的切线，AD为弦，利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到一对角相等，再由AD=AC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；
（2）由已知角相等，加上对顶角相等，得到三角形PEF与三角形AEP相似，由相似得比例，再由AD与BC为圆的相交弦，利用相交弦定理列出关系式，求出EC的长，再由切割线定理求出PA的长即可．

解答 （1）证明：∵PA是⊙O的切线，AD是弦，
∴∠PAD=∠ACD．
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠PAD=∠ADC，
∴AP∥CD；
（2）解：∵∠EDF=∠P，又∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA，
∴$\frac{EF}{EA}$=$\frac{ED}{EP}$，即EF•EP=EA•ED，
∵AD、BC是⊙O的相交弦，
∴EC•EB=EA•ED，
∴EC•EB=EF•EP，
∴EC=$\frac{EF•EP}{EB}$=$\frac{{1×（{2+4}）}}{2}$=3．
由切割线定理有PA²=PB•PC=4×（3+2+4）=36，
则PA=6．

点评 此题考查了圆的有关比例线段，涉及的知识有：切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及切割线定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．