Question

12．如图，A（-2，0），B（2，0），第一象限内点C满足∠ACB=60°，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$．双曲线Г以A、B为焦点，经过点C．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线l过点B与双曲线右支交于M、N两点，且|AM|、|MN|、|AN|成等差数列，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），由题意可得c=2，运用三角形的面积公式和余弦定理，可得|AC|-|BC|=2$\sqrt{3}$，再由双曲线的定义可得a，求得b，进而得到双曲线的方程；
（2）运用等差数列的中项的性质和双曲线的定义，可得|MN|=4$\sqrt{3}$，设出直线l的方程，联立双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得k，进而得到所求直线的方程．

解答 解：（1）设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由题意可得c=2，$\frac{1}{2}$|AC|•|BC|sin60°=$\sqrt{3}$，即|AC|•|BC|=4，
又|AB|²=|AC|²+|BC|²-2|AC|•|BC|cos60°，
即为16=（|AC|-|BC|）²+|AC|•|BC|，
可得（|AC|-|BC|）²=16-4=12，
即为|AC|-|BC|=2$\sqrt{3}$，
由双曲线的定义可得2a=2$\sqrt{3}$，即a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=1，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1；
（2）由双曲线的定义可得|AM|-|BM|=|AN|-|BN|=2a=2$\sqrt{3}$，
可得|AM|+|AN|=4a+|BM|+|BN|=4$\sqrt{3}$+|MN|，
由|AM|、|MN|、|AN|成等差数列，可得|AM|+|AN|=2|MN|，
即有|MN|=4$\sqrt{3}$，
设过点B的直线的方程为y=k（x-2），
代入双曲线的方程x²-3y²=3，可得（1-3k²）x²+12k²x-12k²-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{12{k}^{2}}{1-3{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{12{k}^{2}+3}{1-3{k}^{2}}$，
由弦长公式可得|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{144{k}^{4}}{（1-3{k}^{2}）^{2}}+\frac{48{k}^{2}+12}{1-3{k}^{2}}}$=4$\sqrt{3}$，
即为1+k²=2（3k²-1），
解得k=±$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即有直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{15}}{5}$（x-2）．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用三角形的面积公式和余弦定理，结合双曲线的定义，考查直线的方程的求法，注意运用双曲线的定义和等差数列的中项的性质，联立直线和双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．