Question

7．点F为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，以F为焦点的抛物线y²=2px（p＞0）交双曲线于A，B两点，且$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，则双曲线的离心率为1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设F（c，0），由$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，可得F为AB的中点，即AB⊥x轴，可得p=2c，令x=c代入双曲线的方程，求得AF；再令x=$\frac{p}{2}$，代入抛物线的方程，可得AF，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：设F（c，0），由$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，可得F为AB的中点，
即AB⊥x轴，由题意可得c=$\frac{p}{2}$，即p=2c，
令x=c代入双曲线的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
又令x=$\frac{p}{2}$，代入抛物线的方程可得y²=p²，可得y=±p，
即有2c=$\frac{{b}^{2}}{a}$，即b²=2ac，
即c²-2ac-a²=0，可得e²-2e-1=0，
解得e=1+$\sqrt{2}$（负的舍去），
故答案为：1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线和抛物线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．