Question

2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求a，b的值，
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意求得a，结合椭圆离心率求得c，再由隐含条件求得b；
（2）由（1）求得椭圆方程，设出P的坐标，得到过P的直线l的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式结合根与系数的关系求得弦长，再由点到直线的距离公式求出O到直线l的距离，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得最值．

解答 解：（1）由题设知a=2，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴c=$\sqrt{3}$，故b²=4-3=1．
因此，a=2，b=1；
（2）由（1）可得，椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
设点P（m，0）（-2≤m≤2），点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂）．
若k=1，则直线l的方程为y=x-m．
联立直线l与椭圆C的方程，
即$\left\{\begin{array}{l}{y=x-m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$．将y消去，化简得$\frac{5}{4}$x²-2mx+m²-1=0．
从而有，x₁+x₂=$\frac{8m}{5}$，x₁•x₂=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{5}$，
因此，|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}•\sqrt{（\frac{8m}{5}）^{2}-4•\frac{4（{m}^{2}-1）}{5}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{5-{m}^{2}}$，
点O到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$，
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}$×|AB|×d=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5-{m}^{2}}$×|m|，
因此，${{S}^{2}}_{△OAB}=\frac{4}{25}$（ 5-m²）×m²≤$\frac{4}{25}$•（$\frac{5-{m}^{2}+{m}^{2}}{2}$）²=1．
又-2≤m≤2，即m²∈[0，4]．
当5-m²=m²，即m²=$\frac{5}{2}$，m=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$时，S_△OAB取得最大值1．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了再由与圆锥曲线位置关系的应用，考查弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．