Question

14．点P（x₀，y₀）为双曲线C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}$=1上一点，B₁、B₂为C的虚轴顶点，$\overrightarrow{P{B_1}}•\overrightarrow{P{B_2}}$＜8，则x₀的范围是（　　）

• A． $（-\frac{{6\sqrt{26}}}{13}\;，\;-2]∪[2\;，\;\frac{{6\sqrt{26}}}{13}）$
• B． $（-\frac{{6\sqrt{26}}}{13}\;，\;-2）∪（2\;，\;\frac{{6\sqrt{26}}}{13}）$
• C． $（-2\sqrt{2}\;，\;-2]∪[2\;，\;2\sqrt{2}）$
• D． $（-2\sqrt{2}\;，\;-2）∪（2\;，\;2\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 由点P满足双曲线方程，由B₁（0，3），B₂（0，-3），运用向量的数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：由题意可得9x₀²-4y₀²=36，
可得y₀²=$\frac{9}{4}$x₀²-9，
B₁（0，3），B₂（0，-3），
由$\overrightarrow{P{B_1}}•\overrightarrow{P{B_2}}$＜8，可得（-x₀，3-y₀）•（-x₀，-3-y₀）＜8，
即x₀²+y₀²-9＜8，
可得$\frac{13}{4}$x₀²-26＜0，
解得-2$\sqrt{2}$＜x₀＜2$\sqrt{2}$，
由x₀≥2或x₀≤-2，
可得-2$\sqrt{2}$＜x₀≤-2或2≤x₀＜2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查点满足双曲线的方程，以及向量的数量积的坐标表示，考查不等式的解法，属于中档题．