Question

19．设F₁、F₂是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+${\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}}^{\;}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，P为直线x=$\frac{5a}{4}$上一点，△F₂PF₁是底角为30°的等腰三角形，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{5}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{4}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 设直线x=$\frac{5a}{4}$与x轴交于点Q，由已知得|PF₂|=2|QF₂|=$\frac{5a}{2}-2c=2c$，由此能求出椭圆C的离心率．

解答 解：如图，设直线x=$\frac{5a}{4}$与x轴交于点Q，
由已知得∠PF₁F₂=∠F₁PF₂=30°，∠PF₁Q=60°，PQ⊥x轴，
∴|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
∵P为直线x=$\frac{5a}{4}$上一点，∴|QF₂|=$\frac{5a}{4}$-c，
∴|PF₂|=2|QF₂|=$\frac{5a}{2}-2c=2c$，
∴5a=8c，
∴椭圆C的离心率为e=$\frac{c}{a}=\frac{5}{8}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和数形结合思想的合理运用．