Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A、B是四条直线x=±a，y=±b所围成的两个顶点，P是椭圆C上的任意一点，若$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2$\sqrt{3}$，列出方程组，能求出椭圆方程．
（2）由已得A（2，1），B（-2，1），设P（x₀，y₀），由此能证明点Q（m，n）在定圆x²+y²=$\frac{1}{2}$运动．

解答 （1）解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2b}\\{2c=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）证明：∵A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点，
∴A（2，1），B（-2，1），设P（x₀，y₀），
则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1．由$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2（m-n）}\\{{y}_{0}=m+n}\end{array}\right.$，
∴$\frac{4（m-n）^{2}}{4}$+（m+n）²=1，故点Q（m，n）在定圆x²+y²=$\frac{1}{2}$运动．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，考查动点在定圆上运动的证明，解题时要认真审题，注意椭圆性质的应用，考查转化思想计算能力．