Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点A（2，0），离心率$e=\frac{1}{2}$，斜率为k（0＜k≤1）直线l过点M（0，2），与椭圆C交于G，H两点（G在M，H之间），与x轴交于点B．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）P为x轴上不同于点B的一点，Q为线段GH的中点，设△HPG的面积为S₁，△BPQ面积为S₂，求$\frac{S_1}{S_2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆过点A（2，0），离心率$e=\frac{1}{2}$，求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），直线l：y=kx+2． 由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得：（3+4k²）x²+16kx+4=0，由此利用韦达定理、弦长公式、三角形面积公式、椭圆性质，结合已知能求出$\frac{S_1}{S_2}$的取值范围．

解答 （本小题共13分）
解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点A（2，0），离心率$e=\frac{1}{2}$，
∴由已知得a=2，…（1分）
$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴c=1，…（2分）
∴$b=\sqrt{3}$，…（3分）
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），直线l：y=kx+2． …（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得：（3+4k²）x²+16kx+4=0…（6分）
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-16k}{{3+4{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{4}{{3+4{k^2}}}$，${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+4=\frac{12}{{3+4{k^2}}}$
即$Q（-\frac{8k}{{3+4{k^2}}}，\frac{6}{{3+4{k^2}}}）$…（7分）
∵△=16（12k²-3）＞0，∴${k^2}＞\frac{1}{4}$，即$k＞\frac{1}{2}$．
∵0＜k≤1，∴$\frac{1}{2}＜k≤1$．…（8分）
又$\frac{S_1}{S_2}=\frac{{{S_{△PGH}}}}{{{S_{△PBQ}}}}=\frac{|GH|}{|BQ|}$，
而$|BQ|=\sqrt{{{（-\frac{2}{k}+\frac{8k}{{4{k^2}+3}}）}^2}+{{（\frac{-6}{{4{k^2}+3}}）}^2}}$=$\frac{{6\sqrt{1+{k^2}}}}{{（4{k^2}+3）k}}$，…（9分）
$|GH|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{4\sqrt{12{k^2}-3}}}{{4{k^2}+3}}$，…（10分）
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{|GH|}{|BQ|}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\sqrt{4{k^4}-{k^2}}$，…（11分）
∵$\frac{1}{4}＜{k^2}≤1$设$t={k^2}，（\frac{1}{4}＜t≤1）$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\sqrt{4{t^2}-t}$，
∴$\frac{S_1}{S_2}∈（{0，2}]$．即  $\frac{S_1}{S_2}$的取值范围是（0，2]．…（13分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两三角形面积比值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、三角形面积公式、椭圆性质的合理运用．