Question

5．已知F₁，F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左右焦点，点A（1，$\frac{3}{2}$），则∠F₁AF₂的角平分线l所在直线的斜率为2．′．

Answer 1

分析 推导出AF₂⊥x轴，从而|AF₂|=$\frac{3}{2}$，|AF₁|=$\frac{5}{2}$，点F₁（-1，0）关于l对称的点${{F}_{1}}^{'}$在线段AF₂的延长线上，|F₁′F₂|=1，由此能求出∠F₁AF₂的角平分线l所在直线的斜率．

解答 解：∵A（1，$\frac{3}{2}$），F₁，F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左右焦点
∴F₂（1，0），
∴AF₂⊥x轴，
∴|AF₂|=$\frac{3}{2}$，|AF₁|=$\frac{5}{2}$，
∴点F₁（-1，0）关于l对称的点${{F}_{1}}^{'}$在线段AF₂的延长线上，
又|AF₁′|=|AF₁|=$\frac{5}{2}$，∴|F₁′F₂|=1，
∴${{F}_{1}}^{'}$（1，-1），线段F₁′F₁的中点（0，-$\frac{1}{2}$），
∴k₁=$\frac{\frac{3}{2}-（-\frac{1}{2}）}{1-0}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查∠F₁AF₂的角平分线l所在直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．