Question

16．设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{10}$．则E的离心率e=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由题设条件知，点M（$\frac{2a}{3}$，$\frac{b}{3}$），$\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{5}}{10}$，由此能求出椭圆E的离心率．

解答 解：∵椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，
点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，
满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴由题设条件知，点M（$\frac{2a}{3}$，$\frac{b}{3}$），又${k}_{OM}=\frac{\sqrt{5}}{10}$，从而$\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{5}}{10}$．
∴a=$\sqrt{5}b$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2b，
∴E的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．