Question

15．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=3a_n-$\frac{1}{2}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=1+2log₃2a_n，求证：$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意结合a_n和S_n的关系可得数列{a_n}为等比数列，由等比数列的通项公式可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和对数的运算可得b_n=2n-1，由裂项相消法求和可证不等式．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=3a_n-$\frac{1}{2}$，
当n=1时，$2{S_1}=3{a_1}-\frac{1}{2}$，即$2{a_1}=3{a_1}-\frac{1}{2}$，解得${a_1}=\frac{1}{2}$；
当n≥2时，由$2{S_n}=3{a_n}-\frac{1}{2}$可得$2{S_{n-1}}=3{a_{n-1}}-\frac{1}{2}$，
两式相减可得2a_n=3a_n-3a_n-1，变形可得$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=3$，
∴数列{a_n}是以${a_1}=\frac{1}{2}$为首项，3为公比的等比数列，
由等比数列的通项公式可得${a_n}=\frac{1}{2}•{3^{n-1}}$；
（Ⅱ）证明：∵b_n=1+2log₃2a_n=2n-1，
∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
∴$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$
=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）＜\frac{1}{2}$

点评 本题考查数列的递推公式和裂项相消法求和，涉及等比数列的判定和通项公式，属中档题．