Question

5．复数z₁=sin²x+i•cos2x，z₂=sin²x+i•cosx（其中x∈R，i为虚数单位），在复平面上，复数z₁、z₂能否表示同一个点：若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 由题意得到关于x的三角方程，求解三角方程得到x值，即可求得复数z₁、z₂的值．

解答 解：复数z₁=sin²x+i•cos2x，z₂=sin²x+i•cosx，
若复数z₁、z₂表示同一个点，则：
$\left\{\begin{array}{l}{si{n}^{2}x=si{n}^{2}x}\\{cos2x=cosx}\end{array}\right.$，由cos2x=cosx，得2cos²x-cosx-1=0，
解得cosx=1或cosx=$-\frac{1}{2}$，
当cosx=1时，x=2kπ，k∈Z，此时cos2x=1，sin²x=0，z₁=z₂=i；
当cosx=-$\frac{1}{2}$时，x=2kπ$±\frac{2}{3}π$，此时cos2x=$-\frac{1}{2}$，$si{n}^{2}x=\frac{3}{4}$，${z}_{1}={z}_{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}i$．
∴在复平面上，复数z₁、z₂能表示同一个点，该点表示的复数为i或$\frac{3}{4}-\frac{1}{2}i$．

点评 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了三角函数值的求法，属中档题．