Question

15．已知各项都为正数的等比数列{a_n}，公比q=2，若存在两项a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=2a₁，则$\frac{1}{n}+\frac{4}{m}$的最小值为$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 存在两项a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=2a₁，可得${a}_{1}^{2}$2^m+n-2=4${a}_{1}^{2}$，m+n=4．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵存在两项a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=2a₁，
∴${a}_{1}^{2}$2^m+n-2=4${a}_{1}^{2}$，
∴m+n=4．
则$\frac{1}{n}+\frac{4}{m}$=$\frac{1}{4}（m+n）$$（\frac{1}{n}+\frac{4}{m}）$=$\frac{1}{4}（5+\frac{m}{n}+\frac{4n}{m}）$≥$\frac{1}{4}（5+2\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{4n}{m}}）$=$\frac{9}{4}$，等号不成立，因此当且仅当m=3，n=1时，则$\frac{1}{n}+\frac{4}{m}$的最小值为$\frac{7}{3}$．
故答案为：$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．