Question

7．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：2asin A=（2b-c）sin B+（2c-b）sinC．
（I） 求角A的大小：
（2）若a=2，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由2asin A=（2b-c）sin B+（2c-b）sinC．利用正弦定理化为：a²=b²+c²-bc，再利用余弦定理即可得出．
（2）利用正弦定理、和差化积、三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（I）∵2asin A=（2b-c）sin B+（2c-b）sinC．
∴2a²=（2b-c）b+（2c-b）c．
化为：a²=b²+c²-bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$．
A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB，c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC，
∴l=a+b+c=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin$（\frac{2π}{3}-B）$
=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$（\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB）$
=2+4$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinB+\frac{1}{2}cosB）$
=4$sin（B+\frac{π}{6}）$+2，
∵B∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴$（B+\frac{2π}{3}）$∈$（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$．
∴$sin（B+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$，
∴△ABC的周长l的取值范围是（4，6]．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差化积、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．