Question

16．已知数列{a_n}的前n的项和为S_n，a_n≠0，且2S_n是a₁与a_na_n+1的等差中项．
（1）若a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，求数列{$\frac{（-1）^{n}•n}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 由2S_n是a₁与a_na_n+1的等差中项，化简得a_n+1-a_n-1=4，数列{a_n}是等差数列即可写出通项公式a_n，进而可得{$\frac{（-1）^{n}•n}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$}，分n为偶数和奇数分别求和可得．

解答 解：（1）2S_n是a₁与a_na_n+1的等差中项，a₁=1，
4S_n=a₁+a_na_n+1=1+a_na_n+1，
4S_n-1=1+a_n-1a_n，
两式相减得：4a_n=a_na_n+1-a_n-1a_n，a_n≠0，
a_n+1-a_n-1=4
∴数列{a_n}是以2为公差，以1为首项的等差数列，
a_n=2n-1．
（2）$\frac{n}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}$），
设b_n=$\frac{（-1）^{n}•n}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4}$[（-1）ⁿ$\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}$]，
当n为偶数时，
${T}_{n}=\frac{1}{4}[（1+\frac{1}{3}）-（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+$$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）-（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2（2n+1）}$，
当n为奇数时，
${T}_{n}=\frac{1}{4}[（1+\frac{1}{3}）-（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）+…-$$（\frac{1}{2n-3}+\frac{1}{2n-1}）+（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）]$，
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n+1}{2（2n+1）}$．
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+1}{2（2n+1）}}&{n为奇数}\\{\frac{n}{2（2n+1）}}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 题考查等差数列的和求和公式，涉及分类讨论的思想，在分类讨论求和时，易对项数即项的确定不准确，产生错位，属中档题．