Question

8．如图，在△ABC中，|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{CB}$|=2，∠ACB=75°．
（1）求|$\overrightarrow{AB}$|的值；
（2）若$\overrightarrow{AD}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{DB}$，求证：$\overrightarrow{CD}$⊥$\overrightarrow{AB}$．

Answer 1

分析 （1）运用三角形的余弦定理，即可求得|$\overrightarrow{AB}$|=1+$\sqrt{3}$；
（2）运用向量的数量积的定义可得$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，由条件可得$\overrightarrow{CD}$=$\frac{\overrightarrow{CA}+\sqrt{3}\overrightarrow{CB}}{1+\sqrt{3}}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$，运用向量垂直的条件：数量积为0，即可得证．

解答 解：（1）由余弦定理可得|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{CA}$|²+|$\overrightarrow{CB}$|²-2|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{CB}$|•cos75°
=6+4-2$\sqrt{6}$•2•$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=4+2$\sqrt{3}$，
解得|$\overrightarrow{AB}$|=1+$\sqrt{3}$；
（2）证明：$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{CB}$|•cos75°=$\sqrt{6}$•2•$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=3-$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{AD}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{DB}$，可得$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{CA}$=$\sqrt{3}$（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CD}$），
即有$\overrightarrow{CD}$=$\frac{\overrightarrow{CA}+\sqrt{3}\overrightarrow{CB}}{1+\sqrt{3}}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$，
由（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{CA}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{CB}$）=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{CB}$²-$\overrightarrow{CA}$²+（1-$\sqrt{3}$）$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$
=4$\sqrt{3}$-6+（1-$\sqrt{3}$）（3-$\sqrt{3}$）=0，
可得$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
即有$\overrightarrow{CD}$⊥$\overrightarrow{AB}$．

点评 本题考查向量的模的求法，注意运用余弦定理，考查向量垂直的条件：数量积为0，注意运用向量共线定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．