Question

18．过双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的右支上一点P，分别向圆C₁：（x+4）²+y²=4和圆C₂：（x-4）²+y²=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|²-|PN|²的最小值为13．

Answer 1

分析 求得两圆的圆心和半径，设双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的左右焦点为F₁（-4，0），F₂（4，0），连接PF₁，PF₂，F₁M，F₂N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．

解答 解：圆C₁：（x+4）²+y²=4的圆心为（-4，0），半径为r₁=2；
圆C₂：（x-4）²+y²=1的圆心为（4，0），半径为r₂=1，
设双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的左右焦点为F₁（-4，0），F₂（4，0），
连接PF₁，PF₂，F₁M，F₂N，可得
|PM|²-|PN|²=（|PF₁|²-r₁²）-（|PF₂|²-r₂²）
=（|PF₁|²-4）-（|PF₂|²-1）
═|PF₁|²-|PF₂|²-3=（|PF₁|-|PF₂|）（|PF₁|+|PF₂|）-3
=2a（|PF₁|+|PF₂|-3=2（|PF₁|+|PF₂|）-3≥2•2c-3=2•8-3=13．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．
故答案为：13．

点评 本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．