Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁=6，S₂=4，S_n＞0，且S_2n，S _2n-1．S _2n+2成等比数列，S_2n-1．S_2n+2，S_2n+1成等差数列，则a₂₀₁₆等于-1009．

Answer 1

分析 由已知推导出数列{$\sqrt{{S}_{2n}}$}是等差数列，且S₃=12，S₄=9，从而数列{$\sqrt{{S}_{2n}}$}是首项为2，公差为1的等差数列，由此能求出a₂₀₁₆的值．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁=6，S₂=4，S_n＞0，且S_2n，S _2n-1．S _2n+2成等比数列，S_2n-1．S_2n+2，S_2n+1成等差数列，
∴依题意，得$\left\{\begin{array}{l}{{{S}_{2n-1}}^{2}={S}_{2n}{S}_{2n+2}}\\{2{S}_{2n+2}={S}_{2n-1}+{S}_{2n+1}}\end{array}\right.$，
∵S_n＞0，∴$2{S}_{2n+2}=\sqrt{{S}_{2n}{S}_{2n+2}}$+$\sqrt{{S}_{2n+2}{S}_{2n+4}}$，
即$2\sqrt{{S_{2n+2}}}=\sqrt{{S_{2n}}}+\sqrt{{S_{2n+4}}}（n∈{{N}^*}）$，
故数列{$\sqrt{{S}_{2n}}$}是等差数列，
又由S₁=6，S₂=4，得S₃=12，S₄=9，∴数列{$\sqrt{{S}_{2n}}$}是首项为2，公差为1的等差数列．
∴$\sqrt{{S_{2n}}}=n+1$，即${S}_{2n}=（n+1）^{2}$，
故${S}_{2n-1}=\sqrt{{S}_{2n}{S}_{2n+2}}$=（n+1）（n+2），故${S}_{2016}=100{9}^{2}$，
S₂₀₁₅=1009×1010，
故a₂₀₁₆=S₂₀₁₆-S₂₀₁₅=-1009．
故答案为：-1009．

点评 本题考查数列的第2006项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．