Question

11．以F₁（-4，0），F₂（4，0）为焦点，且过直线l：y=x-2上一点P的双曲线中，实轴最长的双曲线方程为为$\frac{{x}^{2}}{10}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，此时点P坐标为（5，3）．

Answer 1

分析 过右焦点作直线y=x-2的对称点M，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及中点坐标公式，解得M（2，2），连接MF₁，延长F₁M交直线l于P，联立直线方程组求得P的坐标，再由2a=|PF₁|-|PF₂|的最大值为|F₁M|，运用两点的距离公式计算即可得到a，由c=4，可得b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：过点（4，0）作直线y=x-2的对称点M（m，n），
可得$\frac{n-0}{m-4}$=-1，且$\frac{n}{2}$=$\frac{m+4}{2}$-2，
解得m=2，n=2，即M（2，2），
连接MF₁，延长F₁M交直线l于P，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\frac{1}{3}（x+4）}\end{array}\right.$解得P（5，3），
可得2a=|PF₁|-|PF₂|的最大值为|F₁M|=$\sqrt{（2+4）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
即有a=$\sqrt{10}$，又c=4，可得b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{10}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{10}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1．（5，3）．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，以及对称法的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．