Question

1．函数f（x）=2msinx-2cos²x+$\frac{1}{2}$m²-4m+3，m∈（-∞，2]的最小值为m²+1，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 先把函数化成关于sinx的函数，利用换元法，把问题转化为二次函数的问题，讨论对称轴的位置，判断出函数的最小值的表达式求得m的值，再由单调性可得f（x）的最大值．

解答 解：f（x）=2sin²x+2msinx+$\frac{1}{2}$m²-4m+1，
令t=sinx，则-1≤t≤1，
f（t）=2t²+2mt+$\frac{1}{2}$m²-4m+1，
函数的对称轴为t=-$\frac{m}{2}$≥-1，
若-2≤m≤2，
即-1≤-$\frac{m}{2}$≤1，f（t）_min=f（-$\frac{m}{2}$）=-4m+1=m²+1，
求得m=0或m=-4（不符合），
即有f（t）=2t²+1，
此时t=±1时，取得最大值3；
当m＜-2时，-$\frac{m}{2}$＞1时，f（t）在[-1，1]递减，
可得f（t）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$m²-2m+3=1+m²，求得m=-2-2$\sqrt{2}$或-2+2$\sqrt{2}$（舍去），
可得f（t）_max=f（-1）=$\frac{1}{2}$m²-6m+3=21+16$\sqrt{2}$．
综上可得，函数f（x）的最大值为3或21+16$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数的最值的问题．一般的方法是转化为二次函数的问题，利用二次函数的性质求得最值．