Question

1．如图，设M为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）上任意一点，O为原点，过点M作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点，探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？

Answer 1

分析 设M（m，n）是双曲线上任一点，求出双曲线的渐近线方程，由平行线的性质，求得AM 的方程，联立直线OA的方程，求得A的坐标，求出|OA|，M点到OA的距离，利用平行四边形的面积公式可得MAOB的面积，化简整理，结合点M满足双曲线的方程，化简整理即可得到定值$\frac{1}{2}$ab．

解答 解：双曲线的渐近线方程是：bx±ay=0，
设M（m，n）是双曲线上任一点，
过M平行于OB：bx+ay=0的方程是：bx+ay-bm-an=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{bx-ay=0}\\{bx+ay-bm-an=0}\end{array}\right.$，得两直线交点A（$\frac{bm+an}{2b}$，$\frac{bm+an}{2a}$），
|OA|=$\sqrt{（\frac{bm+an}{2b}）^{2}+（\frac{bm+an}{2a}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{c|bm+an|}{ab}$，
M点到OA的距离是：d=$\frac{|bm-an|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{|bm-an|}{c}$，
可得平行四边形MAOB的面积为S=|OA|•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{c|bm+an|}{ab}$•$\frac{|bm-an|}{c}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{|{b}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}{n}^{2}|}{ab}$，
由M在双曲线上，可得b²m²-a²n²=a²b²，
可得S=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{ab}$=$\frac{1}{2}$ab，
即有平行四边形MAOB的面积为定值$\frac{1}{2}$ab．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式和平行四边形的面积的计算，考查化简整理的能力，属于中档题．