Question

13．设数列{a_n}，（n≥1，n∈N）满足a₁=2，a₂=6，且（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[$\frac{2016}{{a}_{1}}$+$\frac{2016}{{a}_{2}}$+…+$\frac{2016}{{a}_{2016}}$]=2015．

Answer 1

分析 构造b_n=a_n+1-a_n，可判数列{b_n}是4为首项2为公差的等差数列，累加法可得a_n=n（n+1），裂项相消法可得答案．

解答 解：构造b_n=a_n+1-a_n，则b₁=a₂-a₁=4，
由题意可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=b_n+1-b_n=2，
故数列{b_n}是4为首项2为公差的等差数列，
故b_n=a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2，
故a₂-a₁=4，a₃-a₂=6，a₄-a₃=8，…，a_n-a_n-1=2n，
以上n-1个式子相加可得a_n-a₁=$\frac{（n-1）（4+2n）}{2}$，解得a_n=n（n+1），
故$\frac{2016}{{a}_{1}}$+$\frac{2016}{{a}_{2}}$+…+$\frac{2016}{{a}_{2016}}$=2016（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$）
=2016（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）=2016-$\frac{2016}{2017}$，
∴[$\frac{2016}{{a}_{1}}$+$\frac{2016}{{a}_{2}}$+…+$\frac{2016}{{a}_{2016}}$]=2015，
故答案为：2015．

点评 本题考查等差数列的通项公式，涉及等差数列的判定和累加法以及裂项相消法求和，属中档题．