Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2$\sqrt{2}$-1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，且k₁k₂=k₃k₄．
（i）求k₁k₂的值；
（ii）求OB²+OC²的值．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆右焦点坐标，由题意可知，椭圆右焦点F₂到直线x+y+2$\sqrt{2}$-1=0的距离为a，再由椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形得到a，b，c的关系，结合焦点F₂到直线x+y+2$\sqrt{2}$-1=0的距离为a可解得a，b，c的值，则椭圆方程可求；
（2）（i）由题意设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则D（-x₁，-y₁），由两点求斜率公式可得是${k}_{1}{k}_{2}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}=\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，把纵坐标用横坐标替换可得答案；
（ii）由k₁k₂=k₃k₄．得到${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{3}{4}{x}_{1}{x}_{2}$．两边平方后用x替换y可得${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=4$．结合点B，C在椭圆上得到${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=3$．则OB²+OC²的值可求．

解答 解：（1）设椭圆C的右焦点F₂（c，0），则c²=a²-b²（c＞0），
由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为（x-c）²+y²=a²，
∴圆心到直线x+y+2$\sqrt{2}$-1=0的距离$d=\frac{|c+2\sqrt{2}-1|}{\sqrt{2}}=a$ ①，
∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，
∴$b=\sqrt{3}c$，a=2c，代入①式得，$c=1，b=\sqrt{3}，a=2$，
故所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）（i）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则D（-x₁，-y₁），
于是${k}_{1}{k}_{2}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}=\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{\frac{3}{4}（4-{{x}_{2}}^{2}）-\frac{3}{4}（4-{{x}_{1}}^{2}）}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}=-\frac{3}{4}$；
（ii）由（i）知，${k}_{3}{k}_{4}={k}_{1}{k}_{2}=-\frac{3}{4}$，故${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{3}{4}{x}_{1}{x}_{2}$．
∴$\frac{9}{16}{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}={{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}=\frac{3}{4}（4-{{x}_{1}}^{2}）（4-{{x}_{2}}^{2}）$，
即${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}=16-4（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）+{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$，
∴${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=4$．
又$2=（\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}）+（\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}）$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{3}$，故${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=3$．
∴OB²+OC²=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=7$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了整体运算思想方法，考查化归与转化思想方法，是中档题．