Question

3．甲、乙、丙、丁四人站一排照相，其中甲、乙不相邻的站法共有n种，则（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2x}$）ⁿ展开式的常数项为（　　）

• A． -$\frac{55}{2}$
• B． $\frac{55}{2}$
• C． -55
• D． 55

Answer 1

分析 先根据排列组合求出n的值，再根据通项公式求出k的值，问题得以解决．

解答 解：根据题意，先安排除甲乙之外的2人，有A₂²=2种不同的顺序，排好后，形成3个空位，
在3个空位中，选2个安排甲乙，有A₃²=6种选法，
则甲乙不相邻的排法有2×6=12种，
即n=12；
（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2x}$）ⁿ=（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2x}$）¹²的通项公式C₁₂^k$x\frac{24-k}{3}$$\frac{12-k}{3}$（-$\frac{1}{2}$）^kx^-k=（-$\frac{1}{2}$）^kC₁₂^k${x}^{（4-\frac{4k}{3}}）$，
当4-$\frac{4k}{3}$=0时，即k=3时，（-$\frac{1}{2}$）³C₁₂³=-$\frac{55}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了排列组合和二项式定理的问题，属于中档题．