Question

8．设双曲线C：$\frac{y^2}{4}$-x²=1，则其两焦点的坐标为（0，±$\sqrt{5}$）；若双曲线C₁经过点（$\sqrt{5}$，-2），且与双曲线C具有相同的渐近线，则双曲线C₁的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 求得双曲线C：$\frac{y^2}{4}$-x²=1的a，b，c，可得焦点的坐标；由与双曲线C具有相同的渐近线的双曲线C₁的方程设为$\frac{y^2}{4}$-x²=m（m≠0），代入点（$\sqrt{5}$，-2），解方程可得m，进而得到所求双曲线的方程．

解答 解：双曲线C：$\frac{y^2}{4}$-x²=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
可得焦点为（0，±$\sqrt{5}$）；
与双曲线C具有相同的渐近线的双曲线C₁的方程设为：
$\frac{y^2}{4}$-x²=m（m≠0），
代入点（$\sqrt{5}$，-2），可得m=$\frac{4}{4}$-5=-1，
可得双曲线C₁的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案为：（0，±$\sqrt{5}$）；x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的坐标和渐近线方程，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题．