Question

6．已知△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，若向量$\overrightarrow{m}$=（2a-b，c）与$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosC）共线．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{m}$|=2|$\overrightarrow{n}$|=2，求a的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量共线的坐标表示列式，结合正弦定理化为sin（B+C）=sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，进一步得到$cosC=\frac{1}{2}$，由此求得角C的大小；
（Ⅱ）由$|\overrightarrow{n}|=1$，结合（Ⅰ）中求得的C的值可得B，得到△ABC是直角三角形，故$b=\frac{1}{2}a$，$c=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，代入$|\overrightarrow{m}|=2$即可求得a值．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{m}=（2a-b，c）$与$\overrightarrow{n}=（cosB，cosC）$共线，
∴c•cosB=（2a-b）•cosC，
由正弦定理得，sinCcosB=（2sinA-sinB）•cosC，
即sin（B+C）=sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，
又B+C=π-A，∴sin（B+C）=sinA，
得$cosC=\frac{1}{2}$，又0＜C＜π，则$C=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由$|\overrightarrow{n}|=1$，得cos²B+cos²C=1，
∵$cosC=\frac{1}{2}$，∴$cosB=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
则$B=\frac{π}{6}$或$B=\frac{5π}{6}$，
又$C=\frac{π}{3}$，则$B=\frac{π}{6}$，
∴△ABC是直角三角形，故$b=\frac{1}{2}a$，$c=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，
由$|\overrightarrow{m}|=2$，得（2a-b）²+c²=4，
代入得，${（2a-\frac{1}{2}a）^2}+{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}a）^2}=4$，解得$a=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的解法，是中档题．