Question

17．已知圆x²+y²=R²过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的右焦点F，且与双曲线在第一，三象限的交点分别为M，N，若∠MNF=$\frac{π}{12}$时，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$x
• B． y=$±\sqrt{3}$x
• C． y=±x
• D． y=±2x

Answer 1

分析 由对称性可得MN过原点O，可得MF⊥NF，运用正切函数的定义和双曲线的定义，求得MF，NF，再由勾股定理和渐近线方程即可得到所求．

解答 解：由对称性可得MN过原点O，可得
MF⊥NF，即有tan∠MNF=$\frac{|MF|}{|NF|}$=tan$\frac{π}{12}$=2-$\sqrt{3}$，
由双曲线的定义可得|NF|-|MF|=|MF'|-|MF|=2a，
解得|MF|=（$\sqrt{3}$-1）a，|NF|=（$\sqrt{3}$+1）a，
在直角三角形MFF'中，由勾股定理可得，
4c²=（$\sqrt{3}$-1）²a²+（$\sqrt{3}$+1）²a²，
即为c²=2a²，即有b²=c²-a²=a²，
则双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即y=±x．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程求法，注意运用双曲线的定义和对称性，以及直径所对的圆周角为直角，正切函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．