Question

4．已知$f（x）=a{x^2}+\frac{b}{x}$（a＞0，b＞0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点$（\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$有（　　）

• A． 最小值9
• B． 最大值9
• C． 最小值4
• D． 最大值4

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，化简可得4a+b=1，由$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=（4a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$），化简整理，运用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：$f（x）=a{x^2}+\frac{b}{x}$（a＞0，b＞0）的导数为f′（x）=2ax-$\frac{b}{{x}^{2}}$，
可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=2a-b，
切点为（1，a+b），
可得2a-b=$\frac{a+b-\frac{1}{2}}{1-\frac{3}{2}}$，
化为4a+b=1，
则有$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=（4a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=9，
当且仅当b=2a=$\frac{1}{3}$时，取得最小值9．
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．