Question

19．△ABC三边的长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CE}$=$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得△ABC是以∠C为直角的直角三角形，然后根据已知条件把$\overrightarrow{CD}、\overrightarrow{CE}$用向量$\overrightarrow{CA}、\overrightarrow{CB}$表示，则$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CE}$的值可求．

解答 解：在△ABC中，由AC=3，BC=4，AB=5，得AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形，如图，
∵$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，∴$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$，
又$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}$$+\frac{1}{3}（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$，
∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{CE}$=$（\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}）•\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{6}|\overrightarrow{CB}{|}^{2}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=\frac{1}{6}×{4}^{2}=\frac{8}{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的数乘、加法法则与减法法则，是中档题．