Question

7．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长为10$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 不妨设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），a²=b²+c²．利用已知可得a-c=5，a+c=15，解出即可得出．

解答 解：不妨设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），a²=b²+c²．
∵椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，
∴a-c=5，a+c=15，
∴b²=a²-c²=5×15=75．
∴b=5$\sqrt{3}$．
则椭圆的短轴长为10$\sqrt{3}$．
故答案为：10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．