Question

20．若椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1与$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率分别为e₁，e₂，且e₁+e₂=$\sqrt{3}$，则e₁e₂=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由已知得e₁=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$，e₂=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$，由此利用e₁+e₂=$\sqrt{3}$，能求出e₁e₂的值．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1与$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率分别为e₁，e₂，
∴e₁=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$，e₂=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$，
∵e₁+e₂=$\sqrt{3}$，
∴${{e}_{1}}^{2}+{{e}_{2}}^{2}+2{e}_{1}{e}_{2}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$+2e₁e₂=2+2e₁e₂=3，
∴e₁e₂=$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、双曲线性质的合理运用．