在直角坐标系xOy中.椭圆C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别为F1.F2．F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点.点M为C1与C2在第一象限的交点.且|MF2|=$\frac{5}{3}$．(Ⅰ)求C1的方程,(Ⅱ)平面上的点N满足四边形MF1NF2是平行四边形.直线l∥MN.且与C1交于A.B两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=$\frac{5}{3}$．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足四边形MF₁NF₂是平行四边形，直线l∥MN，且与C₁交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l的方程．

分析（Ⅰ）由C₂：y²=4x，得F₂（1，0），设M（x₁，y₁），由M在C₂上，得${x}_{1}=\frac{2}{3}，{y}_{1}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，再由M在C₁上，且椭圆C₁的半焦距c=1，能求出椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）四边形MF₁NF₂是平行四边形，其中心为坐标原点O，推导出l的方程为y=$\sqrt{6}$（x-m），由$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\\{y=\sqrt{6}（x-m）}\end{array}\right.$，得9x²-16mx+8m²-4=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、根的判别式，能求出直线l的方程．

解答解：（Ⅰ）由C₂：y²=4x，得F₂（1，0），
设M（x₁，y₁），M在C₂上，∵|MF₂|=$\frac{5}{3}$，∴${x}_{1}+1=\frac{5}{3}$，
解得${x}_{1}=\frac{2}{3}，{y}_{1}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
M在C₁上，且椭圆C₁的半焦距c=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{9{a}^{2}}+\frac{8}{3{b}^{2}}=1}\\{{b}^{2}={a}^{2}-1}\end{array}\right.$，消去b²，并整理，得9a⁴-37a²+4=0，
解得a=2，或a=$\frac{1}{3}$（舍），
故椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）四边形MF₁NF₂是平行四边形，其中心为坐标原点O，
∵l∥MN，∴l与OM的斜率相同，
故l的斜率k=$\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{6}$，
则l的方程为y=$\sqrt{6}$（x-m），
由$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\\{y=\sqrt{6}（x-m）}\end{array}\right.$，消去y，得9x²-16mx+8m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{16m}{9}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{m}^{2}-4}{9}$，
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+6（x₁-m）（x₂-m）
=7${x}_{1}{x}_{2}-6m（{x}_{1}+{x}_{2}）+6{m}^{2}$
=7×$\frac{8{m}^{2}-4}{9}-6m×\frac{16m}{9}+6{m}^{2}$
=$\frac{1}{9}（14{m}^{2}-28）=0$，
解得m=$±\sqrt{2}$，
此时△=（16m）²-4×9（8m²-4）＞0，
故所求直线l的方程为y=$\sqrt{6}x-2\sqrt{3}$或y=$\sqrt{6}x+2\sqrt{3}$．

点评本题考查椭圆方程和直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积、根的判别式、椭圆性质的合理运用．

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B．

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D．

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