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    3．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆C与圆C′：（x-2）2+y2=1有且仅有A，B两个交点，且交点都在圆C′的左方，相交所得的弦AB长为$\frac{2\sqrt{5}}{3}$
    （1）求椭圆C的标准方程；
    （2）若过（1，0）的直线与曲线C交于M，N两点，求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的最大值．

    分析 （1）设点A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），由已知推导出|C′E|=2-x0，x0∈（1，2），由弦长公式，得|AE|2+|C′E|2=|AC′|2，从而A（$\frac{4}{3}，\frac{\sqrt{5}}{3}$），代入椭圆，由椭圆C的离心率，能求出椭圆C的标准方程．
    （Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-4，当过点（1，0）的直线不为y=0时，设为x=ty，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{x=ty+1}\end{array}\right.$，得（t2+4）y2+2ty-3=0，由根与系数的关系，得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1y2=-4+$\frac{17}{{t}^{2}+4}$，由△＞0恒成立，由此能求出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最大值．

    解答 解：（1）如图，设点A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0）
    弦与x轴的交点为E，则|C′E|=2-x0，
    ∵交点都在圆心C′的左方，∴x0∈（1，2），
    由弦长公式，得|AE|2+|C′E|2=|AC′|2，
    ∴（$\frac{\sqrt{5}}{3}$）2+（2-x0）2=12，
    解得${x}_{0}=\frac{8}{3}$（舍），或${x}_{0}=\frac{4}{3}$．
    将${x}_{0}=\frac{4}{3}$代入圆C′：（x-2）2+y2=1中，解得${y}_{0}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，则A（$\frac{4}{3}，\frac{\sqrt{5}}{3}$），
    将点A（$\frac{4}{3}$，$\frac{\sqrt{5}}{3}$）代入椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
    得$\frac{16}{9{a}^{2}}+\frac{5}{9{b}^{2}}=1$，①
    设椭圆C的半焦距为c，则由椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，②
    且a2=b2+c2，③
    由①②③，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
    ∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
    （Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=（2，0）•（-2，0）=-4，
    当过点（1，0）的直线不为y=0时，设为x=ty，M（x1，y1），N（x2，y2），
    联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{x=ty+1}\end{array}\right.$，化简，得（t2+4）y2+2ty-3=0，
    由根与系数的关系得${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2t}{{t}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{3}{{t}^{2}+4}$，
    ∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1y2=（ty1+1）（ty2+1）+y1y2
    =（t2+1）y1y2+t（y1+y2）+1
    =（t2+1）•$\frac{-3}{{t}^{2}+4}$+t•$\frac{-2t}{{t}^{2}+4}$+1
    =$\frac{-4{t}^{2}+1}{{t}^{2}+4}$=$\frac{-4（{t}^{2}+4）+17}{{t}^{2}+4}$=-4+$\frac{17}{{t}^{2}+4}$，
    又由△=4t2+12（t2+4）=16t2+48＞0恒成立，∴t∈R，
    对于上式，当t=0时，（$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$）max=$\frac{1}{4}$，
    ∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最大值为$\frac{1}{4}$．

    点评 本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，注意弦长公式、根与系数的关系的合理运用．

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