Question

19．设z∈C，z+2i，$\frac{z}{2-i}$均为实数．
（1）求z；
（2）求ω=z²+3$\overline{z}$-4（$\overline{z}$是z的共轭复数．

Answer 1

分析 （1）设z=a+bi，其中a，b∈R，由z+2i，$\frac{z}{2-i}$均为实数可得ab的方程组，解方程组可得；
（2）把z和$\overline{z}$代入要求的式子，由复数的混合运算化简可得．

解答 解：（1）设z=a+bi，其中a，b∈R，
∴z+2i=a+（b+2）i，$\frac{z}{2-i}$=$\frac{a+bi}{2-i}$=$\frac{1}{5}$（a+bi）（2+i）=$\frac{1}{5}$[（2a-b）+（a+2b）i]，
由z+2i，$\frac{z}{2-i}$均为实数可得b+2=0且a+2b=0，解得a=4且b=-2
∴z=4-2i；
（2）∴ω=z²+3$\overline{z}$-4=（4-2i）²+3（4+2i）-4
=12-16i+12+6i-4=20-10i

点评 本题考查复数的代数形式的混合运算，涉及复数的基本概念和共轭复数，属基础题．