Question

15．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（I）求f（x）的解析式，并求函数f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]上的值域；
（2）在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，求sin2B．

Answer 1

分析 （1）由函数图象可得周期，进而由周期公式可得ω值，代点（$\frac{π}{6}$，2）可得φ值，可得解析式，再由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]和三角函数的值域可得；
（2）由（1）的解析式和三角形的知识可得A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得BC，再由余弦定理可得cosB，进而可得sinB，代入sin2B=2sinBcosB，计算可得．

解答 解：（1）由函数图象可知函数的周期T满足$\frac{3}{4}$T=$\frac{11π}{12}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{4}$，
解得T=π，∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2，故f（x）=2sin（2x+φ），
又函数图象经过点（$\frac{π}{6}$，2），故2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=2，
故sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，结合0＜φ＜π可得φ=$\frac{π}{6}$，
故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]可得2x+$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[0，1]，∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[0，2]，
故函数的值域为[0，2]；
（2）∵在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，
∴f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，即sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
结合三角形内角的范围可得2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得BC²=3²+2²-2×3×2×$\frac{1}{2}$，BC=$\sqrt{7}$，
∴cosB=$\frac{{3}^{2}+（\sqrt{7}）^{2}-{2}^{2}}{2×3×\sqrt{7}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，故sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\sqrt{\frac{3}{7}}$，
∴sin2B=2sinBcosB=2×$\frac{2}{\sqrt{7}}$×$\sqrt{\frac{3}{7}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$

点评 本题考查正弦函数的图象和性质，涉及正余弦定理解三角形以及三角函数的值域，属中档题．