Question

3．已知函数f（x）=sinωx-cosωx，ω＞0是常数，x∈R，且图象上相邻两个最高点的距离为π，则下列说法正确的是（　　）

• A． ω=1
• B． 曲线y=f（x）关于点（π，0）对称
• C． 曲线y=f（x）与直线$x=\frac{π}{2}$对称
• D． 函数f（x）在区间$（0，\frac{π}{3}）$单调递增

Answer 1

分析 化简可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx-$\frac{π}{4}$），分别由三角函数的周期性、对称性和单调性，逐个选项验证可得．

解答 解：化简可得f（x）=sinωx-cosωx=$\sqrt{2}$sin（ωx-$\frac{π}{4}$），
∵函数f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，
∴周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，故A错误；
函数解析式为f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
显然图象不过（π，0），故B错误；
当x=$\frac{π}{2}$时，函数值取不到±$\sqrt{2}$，故C错误；
解2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{4}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{8}$＜x＜kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
故函数的一个单调递增区间为（-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$），故D正确．
故选：D．

点评 本题考查正弦函数的图象和性质，数形结合是解决问题的关键，属中档题．