Question

11．已知直线y=x+1与曲线y=f（x）=ln（x+a）相切，则${∫}_{1}^{2}$f′（x-2）dx=（　　）

• A． 1
• B． ln2
• C． 2ln2
• D． 2

Answer 1

分析 设切点为（m，n），求出函数的导数，求得切线的斜率，运用切点的特点，代入切线的方程和曲线方程，解得a=2，再由定积分的运算公式，即可得到所求值．

解答 解：设切点为（m，n），
y=f（x）=ln（x+a）的导数为f′（x）=$\frac{1}{x+a}$，
可得切线的斜率为k=$\frac{1}{a+m}$=1，
又n=1+m=ln（a+m），可得a=2，m=-1，n=0，
可得f（x）=ln（x+2），
f′（x）=$\frac{1}{x+2}$，即有${∫}_{1}^{2}$f′（x-2）dx=${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{x}$dx
=lnx|${\;}_{1}^{2}$=ln2-ln1=ln2．
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查定积分的运算，考查化简整理的运算能力，属于中档题．