Question

15．已知曲线C₁：$\frac{|x|}{a}$+$\frac{|y|}{b}$=1（a＞b＞0）所围成的封闭图形的面积为4$\sqrt{5}$，曲线C₁的内切圆半径为$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，记C₂为以曲线C₁与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（1）求椭圆C₂的标准方程；
（2）设AB是过椭圆C₂中心O的任意弦，M是椭圆上一点，且满足（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）•$\overrightarrow{AB}$=0，求△AMB的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{4×\frac{1}{2}ab=4\sqrt{5}}\\{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{3}}\end{array}\right.$，a＞b＞0，解得a，b即可得出．
（2）设直线AB的斜率存在且不为0，方程为y=kx．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，解得可得|AB|=$2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．由于满足（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）•$\overrightarrow{AB}$=0，可得MO⊥AB．可得直线OM的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x．同理可得|OM|．利用S_△AMB=$\frac{1}{2}$|OM||AB|及其基本不等式的性质即可得出．当k=0时，S_△AMB=$\frac{1}{2}×2a×b$．当k不存在时，S_△AMB=$\frac{1}{2}×2b×a$，直接得出．

解答 解：（1）∵曲线C₁：$\frac{|x|}{a}$+$\frac{|y|}{b}$=1（a＞b＞0）所围成的封闭图形的面积为4$\sqrt{5}$，曲线C₁的内切圆半径为$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4×\frac{1}{2}ab=4\sqrt{5}}\\{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{3}}\end{array}\right.$，a＞b＞0，解得a=$\sqrt{5}$，b=2．
由C₂为以曲线C₁与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）设直线AB的斜率存在且不为0，方程为y=kx．A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀）．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{20}{4+5{k}^{2}}$，${y}^{2}=\frac{20{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$．
∴|AB|=$2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$4\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}}$．
∵满足（$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$）•$\overrightarrow{AB}$=0，∴$2\overrightarrow{MO}$$•\overrightarrow{AB}$=0，∴MO⊥AB．可得直线OM的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{20{k}^{2}}{5+4{k}^{2}}$，${y}^{2}=\frac{20}{4{k}^{2}+5}$，|MO|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$2\sqrt{5}$×$\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{4{k}^{2}+5}}$．
∴S_△AMB=$\frac{1}{2}$|OM||AB|=$\frac{1}{2}×$$2\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{4{k}^{2}+5}}$×$4\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}}$=20$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{（4{k}^{2}+5）（4+5{k}^{2}）}}$≥20$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{（\frac{4{k}^{2}+5+4+5{k}^{2}}{2}）^{2}}}$=$\frac{40}{9}$，当且仅当k²=1时取等号．
当k=0时，S_△AMB=$\frac{1}{2}×2a×b$=2$\sqrt{5}$$＞\frac{40}{9}$．
当k不存在时，S_△AMB=$\frac{1}{2}×2b×a$=2$\sqrt{5}$＞$\frac{40}{9}$．
综上可得：△AMB的面积的最小值是$\frac{40}{9}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率关系、基本不等式的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．