Question

17．设P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上的点，它的一条渐近线方程为y=$\frac{3}{2}$x，两焦点间距离为2$\sqrt{13}$，F₁，F₂分别是该双曲线的左、右焦点，若|PF₁|=3，则|PF₂|=7．

Answer 1

分析 根据双曲线的渐近线以及条件求出a，c的值，结合双曲线的定义进行求解即可．

解答 解：双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
则$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{2}$，即b=$\frac{3}{2}$a，
∵两焦点间距离为2$\sqrt{13}$，
∴2c=2$\sqrt{13}$，即c=$\sqrt{13}$，
则b²=$\frac{9}{4}$a²=c²-a²，
即$\frac{13}{4}$a²=13，则a²=4，a=2，
∵|PF₁|=3＜a+c=$\sqrt{13}$+2，
∴点P在双曲线的左支上，
则|PF₂|-|PF₁|=2a=4，
即|PF₂=4+|PF₁|=4+3=7，
故答案为：7．

点评 本题主要考查双曲线方程的应用，根据条件建立方程组关系求出a，c的值结合双曲线的定义是解决本题的关键．