Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2$\sqrt{3}$，且离心率e=$\frac{1}{2}$，设F₁，F₂是椭圆的左、右焦点，过F₂的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F₁M，F₁N分别与直线x=4相交于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△F₂PQ面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的短轴长为2$\sqrt{3}$，且离心率e=$\frac{1}{2}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（-$\frac{\sqrt{3}}{3}＜t＜\frac{\sqrt{3}}{3}$），代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，由此利用韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性，结合已知能求出△F₂PQ面积的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2$\sqrt{3}$，且离心率e=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（-$\frac{\sqrt{3}}{3}＜t＜\frac{\sqrt{3}}{3}$），
代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，化简，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6t}{3{t}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{t}^{2}+4}$，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），又F₁（-1，0），F₂（1，0），
则直线F₁M：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}（x+1）$，令x=4，得P（4，$\frac{5{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$），同理，Q（4，$\frac{5{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$），
∴${S}_{△{F}_{2}PQ}$=$\frac{15}{2}×$|$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}-\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$|=15×|$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{（t{y}_{1}+2）（t{y}_{2}+2）}$|=90×|$\frac{\sqrt{{t}^{2}+1}}{16-9{t}^{2}}$|，
令μ=$\sqrt{{t}^{2}+1}$∈[1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），则${S}_{△{F}_{2}PQ}$=90×$\frac{μ}{25-9{μ}^{2}}$，
∵y=$\frac{x}{25-9{x}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{25}{x}-9x}$在[1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上是增函数，
∴当μ=1时，即t=0时，（${S}_{△{F}_{2}PQ}$）_min=$\frac{45}{4}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．