Question

10．已知双曲线$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$的左右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为（-2，3），则|PQ|+|PF₁|的最小值为5+$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由双曲线方程求出a及c的值，利用双曲线定义把|PQ|+|PF₁|转化为|PQ|+|PF₂|+$2\sqrt{3}$，连接QF₂交双曲线右支于P，则此时|PQ|+|PF₂|最小等于|QF₂|，由两点间的距离公式求出|QF₂|，则|PQ|+|PF₁|的最小值可求．

解答 解：如图
由双曲线$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，得a²=3，b²=1，
∴c²=a²+b²=4，则c=2，
则F₂（2，0），
∵$|P{F}_{1}|-|P{F}_{2}|=2\sqrt{3}$，∴$|P{F}_{1}|=2\sqrt{3}+|P{F}_{2}|$，
则|PQ|+|PF₁|=|PQ|+|PF₂|+$2\sqrt{3}$，
连接QF₂交双曲线右支于P，
则此时|PQ|+|PF₂|最小等于|QF₂|，
∵Q的坐标为（-2，3），F₂（2，0），
∴$|Q{F}_{2}|=\sqrt{（-2-2）^{2}+（3-0）^{2}}=5$，
∴|PQ|+|PF₁|的最小值为5+$2\sqrt{3}$．
故答案为：5+$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线中最值问题的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．