Question

4．已知函数f（x）=sin（2x+φ）在x=$\frac{π}{6}$处取得极大值，则函数y=f（$\frac{π}{4}$+x）的图象（　　）

• A． 关于点（$\frac{π}{6}$，0）对称
• B． 关于点（$\frac{π}{3}$，0）对称
• C． 关于直线x=$\frac{π}{6}$对称
• D． 关于直线x=$\frac{π}{3}$对称

Answer 1

分析 由条件求得φ的值，可得f（x）的解析式，从而得出f（x+$\frac{π}{4}$）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．

解答 解：函数f（x）=sin（2x+φ）的周期为π，在x=$\frac{π}{6}$处取得极大值，
则$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，故可取φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
则函数y=f（$\frac{π}{4}$+x）=sin（$\frac{π}{2}$+2x+$\frac{π}{6}$）=cos（2x+$\frac{π}{6}$），
当x=$\frac{π}{6}$时，求得f（$\frac{π}{4}$+x）=0，可得f（$\frac{π}{4}$+x）的图象关于点（$\frac{π}{6}$，0）对称，不关于直线x=$\frac{π}{6}$对称；
故A正确，C错误．
当x=$\frac{π}{3}$时，求得f（$\frac{π}{4}$+x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故f（$\frac{π}{4}$+x）的图象不关于点（$\frac{π}{3}$，0）对称，
也不关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，故B、D错误，
故选：A．

点评 本题主要考查正弦函数的最值，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．