Question

14．已知函数f（x）=ax³+$\frac{1}{2}$x²在x=1处的切线方程为4x-2y-5=0，记g（x）=$\frac{1}{f′（x）}$，程序框图如图所示，若输出的结果S＞$\frac{2011}{2012}$，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（　　）

• A． n≤2011？
• B． n＞2011？
• C． n≤2012？
• D． n＞2012？

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）=ax³+$\frac{1}{2}$x²在x=1处的切线方程为4x-2y-5=0，可求出a值，进而求出函数g（x）的解析式，然后利用裂项相消法，可求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（n）的值与n的关系，分析出最后进行循环的循环变量n的终值，分析后可得判断条件．

解答 解：∵函数f（x）=ax³+$\frac{1}{2}$x²在x=1处的切线方程为4x-2y-5=0，
∴f'（x）=3ax²+x，…（2分）
∴k=f'（1）=3a+1=2，
∴a=$\frac{1}{3}$，
∴g（x）=$\frac{1}{f′（x）}$=$\frac{1}{{x}^{2}+x}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$，
∵模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（n）的值，
∴S=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（n）=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
若输出的结果S＞$\frac{2011}{2012}$，
则表示累加的终值应满足n＞2011，
即n≤2012时，满足进入循环进行累加的条件，n＞2012时退出循环，
故选：C．

点评 此题重点考查了导数的几何含义及函数切点的定义，还考查了循环程序的程序框图、归纳推理、裂项相消求和等知识，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．