Question

14．已知点A（2，1）为椭圆G：x²+2y²=m上的一点．
（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标；
（Ⅱ）若椭圆G上的B，C两点满足2k₁k₂=-1（其中k₁，k₂分别为直线AB，AC的斜率）．证明：B，C，O三点共线．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由点A（2，1）为椭圆G：x²+2y²=m上的一点，求出m，由此能求出椭圆G的焦点坐标．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-2）+1}\\{{x}^{2}+{2y}^{2}=6}\end{array}\right.$，得$（2{{k}_{1}}^{2}+1）{x}^{2}-4{k}_{1}（2{k}_{1}-1）x+2（2{k}_{1}-1）$²-6=0，由此利用韦达定理能推导出y₁=-y₂，从而能证明B、C、O三点共线．

解答 解：（Ⅰ）∵点A（2，1）为椭圆G：x²+2y²=m上的一点，
∴m=4+2=6，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴c=$\sqrt{6-3}=\sqrt{3}$，
∴椭圆G的焦点坐标为（-$\sqrt{3}$，0）和（$\sqrt{3}$，0）．
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-2）+1}\\{{x}^{2}+{2y}^{2}=6}\end{array}\right.$，消去y，化简，得：
$（2{{k}_{1}}^{2}+1）{x}^{2}-4{k}_{1}（2{k}_{1}-1）x+2（2{k}_{1}-1）$²-6=0，
∴${x}_{1}=\frac{（2{k}_{1}-1）^{2}-3}{2{{k}_{2}}^{2}+1}$，同理得${x}_{2}=\frac{（2{k}_{2}-1）^{2}-3}{2{{k}_{2}}^{2}+1}$，
∵2k₁k₂=-1，
∴${x}_{2}=\frac{2{{k}_{1}}^{2}（2{k}_{2}-1）^{2}-6{{k}_{1}}^{2}}{4{{k}_{1}}^{2}{{k}_{2}}^{2}+2{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{2（-1-{k}_{1}）^{2}-6{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{2+4{k}_{1}-4{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{3-（2{k}_{1}-1）^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$=-x₁，
∴2k₁k₂=$2×\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}×\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=2×$\frac{（{y}_{1}-1）（{y}_{2}-1）}{4-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{y}_{2}-1）}{{{y}_{1}}^{2}-1}$=$\frac{{y}_{2}-1}{{y}_{1}+1}$=-1，
∴y₁=-y₂，
∴B、C、O三点共线．

点评 本题考查椭圆的焦点坐标的求法，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．