Question

11．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y-5≤0}\\{y≥\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，则$\frac{（x+y）^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$的最小值为$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用换元法，结合分式函数的性质，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x＞0，y＞0，
则$\frac{（x+y）^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2xy+2{y}^{2}}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$=1+$\frac{2xy}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$=1+$\frac{2•\frac{y}{x}}{1+2•（\frac{y}{x}）^{2}}$，
设k=$\frac{y}{x}$，（k＞0），则y=kx
1+$\frac{2•\frac{y}{x}}{1+2•（\frac{y}{x}）^{2}}$=1+$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$=1+$\frac{2}{\frac{1}{k}+2k}$，
设y=2k+$\frac{1}{k}$，
由由图象知当直线y=kx和AB：y=x重合时，k取得最大值，此时k=1，
当y=kx与y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$相切时，直线y=kx的斜率最小，
由y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$=kx，
即x²-4kx+1=0，
则判别式△=16k²-4=0，
得k²=$\frac{1}{4}$，得k=$\frac{1}{2}$或k=-$\frac{1}{2}$（舍），
即$\frac{1}{2}$≤k≤1，
y=2k+$\frac{1}{k}$的导数y′=2-$\frac{1}{{k}^{2}}$=$\frac{2{k}^{2}-1}{{k}^{2}}$，
则由y′＞0得$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k≤1，即函数y=2k+$\frac{1}{k}$为增函数，
由y′＜0得$\frac{1}{2}$≤k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即函数y=2k+$\frac{1}{k}$为减函数，
故当k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，y取得极小值同时也是最小值y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2+$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}+\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
当k=1时，y=2+1=3，
当k=$\frac{1}{2}$时，y=2×$\frac{1}{2}$+2=3，
即y的最大值为3，
则2$\sqrt{2}$≤y≤3，
要求1+$\frac{2}{\frac{1}{k}+2k}$=1+$\frac{2}{y}$的最小值，即求y的最大值，
即当y=3时，1+$\frac{2}{\frac{1}{k}+2k}$取得最大值1+$\frac{2}{\frac{1}{k}+2k}$=1+$\frac{2}{y}$=1+$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$，
故$\frac{（x+y）^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$的最小值为$\frac{5}{3}$，
故答案为：$\frac{5}{3}$

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用换元法，结合分式函数的性质判断函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．