Question

10．如果曲线y=2sin$\frac{x}{2}$的两条互相垂直的切线交于P点，则P点的坐标不可能是（　　）

• A． （π，π）
• B． （3π，-π）
• C． （5π，-π）
• D． （7π，-π）

Answer 1

分析 若l₁，l₂是函数f（x）=sinx图象上的任意两条相互垂直的切线，设这两个切点的横坐标分别为x₁、x₂，则cos$\frac{{x}_{1}}{2}$cos$\frac{{x}_{2}}{2}$=-1，得到切点坐标之间的关系进行判断即可．

解答 解：由f（x）=2sin$\frac{x}{2}$，得f′（x）=cos$\frac{x}{2}$，若l₁，l₂是函数f（x）=2sin$\frac{x}{2}$图象上的任意两条相互垂直的切线，
设这两个切点的横坐标分别为x₁、x₂，则cos$\frac{{x}_{1}}{2}$cos$\frac{{x}_{2}}{2}$=-1．
不妨设cos$\frac{{x}_{1}}{2}$≤cos$\frac{{x}_{2}}{2}$，则必有cos$\frac{{x}_{1}}{2}$=-1，cos$\frac{{x}_{2}}{2}$=1，即$\frac{{x}_{2}}{2}$=2kπ，$\frac{{x}_{1}}{2}$=2kπ+π，
进一步求出两条切线的交点P的坐标为（x₀，y₀）=（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}$），可见P的横坐标与纵坐标都是π的奇数倍，且两者之差是4π的整数倍，
四个选项中只有（5π，-π）不符合这个特征，
故选：C

点评 本题主要考查正弦函数的图象，求函数在某一点的切线方程，两条直线垂直的性质，难度较大．