Question

19．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-6≤0\\ x-y+2≥0\\ x，y≥0\end{array}\right.$，若ax+by（a，b＞0）的最大值是12，则a²+b²的最小值是$\frac{36}{13}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，利用线性规划知识求出4a+6b=12，即2a+3b=6．再由a²+b²的几何意义，即2a+3b=6（a＞0，b＞0）上的点到原点距离的平方，结合点到直线的距离公式得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-6≤0\\ x-y+2≥0\\ x，y≥0\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{3x-y-6=0}\end{array}\right.$，解得A（4，6），
令z=ax+by，化为$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由图可知，当直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4a+6b=12，
即2a+3b=6．
a²+b²的几何意义为2a+3b=6（a＞0，b＞0）上的点到原点距离的平方，
由点到直线的距离公式可得，原点到2a+3b=6（a＞0，b＞0）上的点的距离的最小值为d=$\frac{|6|}{\sqrt{13}}$，
∴a²+b²的最小值是$\frac{36}{13}$．
故答案为：$\frac{36}{13}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．